Question

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=2，且b₂S₂=32，b₃S₃=120．
（1）求a_n与b_n；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知利用等比数列的通项公式及等差数列的求和公式分别表示已知，解方程可求公比q，公差d，即可求解
（2）由（1）可求anbn=(2n+1)•2n，结合数列的项的特点，考虑利用错位相减求和即可

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d为正整数，a_n=3+（n-1）d，bn=2qn-1
依题意有

S3b3=(9+3d)2q2=120 S2b2=(6+d)2q=32

，即

(9+3d)q2=60 (6+d)q=16

，
解得

d=2 q=8

，或者

d=- 6 5 q= 10 3

（舍去），
故an=3+2(n-1)=2n+1，bn=2n．
（2）anbn=(2n+1)•2n．
Tn=3•2+5•22+…+(2n-1)•2n-1+(2n+1)•2n，2Tn=3•22+5•23+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1，
两式相减得-Tn=3•2+2•22+2•23+…+2•2n-(2n+1)2n+1
=2+2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）2ⁿ⁺=，
=2ⁿ⁺²-2-（2n+1）2ⁿ⁺¹，
=（1-2n）2ⁿ⁺¹-2，
所以Tn=(2n-1)•2n+1+2．

点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的求和公式，通项公式的简单应用，数列求和的错位相减求和方法的应用是求解本题的关键