Question

19．已知a＞0，b＞0，ab=a+b+3，求：
（1）ab的最小值；
（2）a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意和基本不等式可得关于$\sqrt{ab}$的一元二次不等式，解不等式可得；
（2）同理可得关于a+b的一元二次不等式，解不等式可得．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，ab=a+b+3，
∴ab=a+b+3≥2$\sqrt{ab}$+3，即（$\sqrt{ab}$）²-2$\sqrt{ab}$-3≥0
解关于$\sqrt{ab}$的一元二次不等式可得$\sqrt{ab}$≥3，或$\sqrt{ab}$≤-1（舍去）
∴ab≥9，当且仅当a=b=3时取等号，
∴ab的最小值为9；
（2）同理可得a+b=ab-3≤（$\frac{a+b}{2}$）²-3，
整理可得（a+b）²-4（a+b）-12≥0，
解关于a+b的一元二次不等式可得a+b≥6，或a+b≤-2（舍去）
当且仅当a=b=3时取到等号，
∴a+b的最小值为6

点评 本题考查基本不等式，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．