Question

已知双曲线mx²-y²=1（m＞0）的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B、C使得△ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A、（1，3）
• B、(1，

  3

  )
• C、（1，2）
• D、(1，

  2

  )

Answer 1

分析：由已知中双曲线mx²-y²=1（m＞0）的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B、C使得△ABC为等腰直角三角形，我们易判断出AB边的倾斜角进而求出其斜率，利用双曲线的性质，我们易确定渐近线斜率的范围，结合已知中双曲线的方程，我们要以构造出关于m的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：如图所示：
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAX=45°设其中一条渐近线与X轴夹角为θ，则θ＜45°
即tanθ＜1
即

m

＜1
即0＜m＜1
又∵e2=1+

b2

a2

=1+m
∴1＜e²＜2
即1＜e＜

2

故选D

点评：本题考查的知识点是双曲线的性质，其中根据双曲线的性质，判断出渐近线的斜率的取值范围是解答本题的关键．