Question

已知，．数列a_n满足．
（Ⅰ）证明：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅱ）已知≥，证明：；
（Ⅲ）设T_n是数列a_n的前n项和，判断T_n与n-3的大小，并说明理由．．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根据得出下面用数学归纳法证明：0＜a_n＜a_n+1＜1．
（Ⅱ）要证，即证，其中．
令.．利用导数研究在上的最值问题，先求出函数的极值，往往求出的极大值就是最大值，即可证得即；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知从而
∴．
结合放缩法即可证明得T_n＞n-3．
解答：解：（I）∵，
∴．
∴．
∴．（1分）
下面用数学归纳法证明：0＜a_n＜a_n+1＜1．
①n=1时，，
故结论成立．
②假设n=k时结论成立，即．
∴，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1．
也就是说n=k+1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．（4分）
（Ⅱ）要证，即证，其中．
令.．
由，得．（6分）

x
g'（x）	+		-
g（x）	↗	极大值	↘

又g（1）=0，．
∴当，g（x）＞0．
∴．
∴．
即．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
．（11分）
∴．
∴．（13分）
又，
即．
∴T_n＞n-3．（14分）
点评：本题考查数列与向量的综合，解题时要注意公式有灵活运用．本题还考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，处理方法是当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．