题目内容
若函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，满足f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称这样的函数f（x）为“优美函数”．
（Ⅰ）判断函数
是否为“优美函数”？若是，求出a，b；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若函数
为“优美函数”，求实数t的取值范围．
解：（Ⅰ）由于函数是增函数，则得
，
因为a＜b，所以
；
（Ⅱ）由于函数为“优美函数”，则得方程
有两实根，
设
，所以关于m的方程m+t=m2即t=m2-m在[0，+∞）有两实根，
即函数y=t与函数
的图象在[0，+∞）上有两个不同交点，
∴
．
分析：（1）由已知条件中“优美函数”的定义，说明函数在区间[a，b]的值域是[a，b]，又由函数的单调性，得到，解出a与b即可；
（2）由题意知，函数为“优美函数”，等价于方程有两实根，进而得到参数t的范围．
点评：本题考查的知识点是函数单调性和函数的值域，属于基础题．根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）将新定义转化为熟悉的数学模型是解答本题的关键．
是增函数，则得，因为a＜b，所以
；（Ⅱ）由于函数
为“优美函数”，则得方程有两实根，设
，所以关于m的方程m+t=m2即t=m2-m在[0，+∞）有两实根，即函数y=t与函数
的图象在[0，+∞）上有两个不同交点，∴
．分析：（1）由已知条件中“优美函数”的定义，说明函数
在区间[a，b]的值域是[a，b]，又由函数的单调性，得到，解出a与b即可；（2）由题意知，函数
为“优美函数”，等价于方程有两实根，进而得到参数t的范围．点评：本题考查的知识点是函数单调性和函数的值域，属于基础题．根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）将新定义转化为熟悉的数学模型是解答本题的关键．
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