Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，且a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），
（1）求数列{S_n}的通项公式；
（2）设S_n=，b_n=f（）+1．记P_n=S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，试求T_n，并证明P_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{S_n}的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用裂项法求数列的和，即可得到结论．
解答：（1）解：∵a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0．---------（3分）
∴-=2．
又∵a₁=1，---------------（5分）
∴S_n=（n∈N₊）．---------------（7分）
（2）证明：∵S_n=，∴f（n）=2n-1．--------------------------（8分）
∴b_n=2（）-1+1=（）^n-1．---------------------------------------（9分）
T_n=（）•（）¹+（）¹•（）²+…+（）^n-1•（）ⁿ=（）¹+（）³+（）⁵+…+（）^2n-1
=[1-（）ⁿ]．-------------------------------------------------------（11分）
∴P_n=++…+---------------（13分）
==-------------------------------（14分）
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．