Question

袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球．
（Ⅰ）若有放回地摸出4个球，求取出的红球数小于黑球数的概率P；
（Ⅱ）若无放回地摸出4个球，求取出的红球数ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）取出的红球数小于黑球数包括摸出的黑球个数为3、4，有放回地摸出4个球，相互之间没有影响，而摸一次能够摸到黑球的概率是

4

7

，利用独立重复试验的概率公式写出结果．
（II）由题意知随机变量ξ的所有取值为0，1，2，3．结合变量对应的事件和等可能事件的概率写出变量的概率和分布列求出期望值．

解答：解：（I）依题意知取出的红球数小于黑球数，则摸出的黑球个数为3、4，
∵有放回地摸出4个球，相互之间没有影响，
而摸一次能够摸到黑球的概率是

4

7

∴P=

C

3 4

3

7

(

4

7

)3+

C

4 4

(

4

7

)4=

1024

2401

（II）由题意知随机变量ξ的所有取值为0，1，2，3.P(ξ=0)=

C 4 4

C 4 7

=

1

35

，P(ξ=1)=

C 3 4 C 1 3

C 4 7

=

12

35

，P(ξ=2)=

C 2 4 C 2 3

C 4 7

=

18

35

，
P(ξ=3)=

C 1 4 C 3 3

C 4 7

=

4

35

∴ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3
P	1 35	12 35	18 35	4 35

∴Eξ=0×

1

35

+1×

12

35

+2×

18

35

+3×

4

35

=

12

7

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是对于条件中所给的又放回的模四个球要引起注意．