Question

已知函数f(x)=

2|x|-sin2x+1

2|x|+1

在[-a，a]（a＞0）上的最大值为m，最小值为n，则m+n=

 

．

Answer 1

分析：先将函数f（x）进行化简，转化成f（x）=1-

sin2x

2|x|+1

，然后研究函数

sin2x

2|x|+1

，根据奇函数的性质得到其两最值互为相反数，建立等式关系．

解答：解：f(x)=

2|x|-sin2x+1

2|x|+1

=1-

sin2x

2|x|+1

，
令g（x）=

sin2x

2|x|+1

，定义域为[-a，a]
∴g（-x）=-g（x）即g（x）是奇函数
∵函数f（x）在[-a，a]（a＞0）上的最大值为m，最小值为n
∴n≤f（x）=1-g（x）≤m即1-m≤g（x）≤1-n
而g（x）是奇函数，故两最值互为相反数，即1-m+1-n=0
∴m+n=2
故答案为2

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及奇函数的性质的应用，属于基础题．