Question

已知函数

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)证明：当

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)¢ (x)＝2(x－a)ex＋(x－a)2ex＝(x－a)[x－(a－2)]ex　　2分 　　令(x)＝0，得x1＝a－2，x2＝a． 　　当x变化时，(x)、f(x)的变化如下： 　　所以f(x)的单调递增区间是(－∞，a－2)，(a，＋∞)， 　　单调递减区间是(a－2，a)　　6分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得[f(x)]极大＝f(a－2)＝4ea－2． 　　(1)当a≤1时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)或f(1)， 　　由解得－1≤a≤1； 　　(2)当a－2≤1＜a，即1＜a≤3时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)， 　　此时f(a－2)＝4ea－2≤4e3－2＝4e； 　　(3)当a－2＞1，即a＞3时，f(1)＝(a－1)2e＞4e，f(x)≤4e不恒成立． 　　综上，a的取值范围是[－1，3]　　12分