Question

已知函数f（x）=ex-lnx，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在区间[

1

e

，e]内存在x₀，使不等式f（x）＜x+m成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其导函数，以及导函数大于0，小于0对应的区间即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令F（x）=（e-1）x-lnx，先把问题转化为在区间[

1

e

，e]内，F（x）_min＜m；再利用导函数求出函数F（x）的单调性，进而求出其最小值即可求m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=(ex-lnx)′=e-

1

x

当f′（x）＞0，即e-

1

x

＞0?x＞

1

e

时，f（x）为单调递增函数；
当f′（x）＜0，即e-

1

x

＜0， 又x＞0?0＜x＜

1

e

时，f（x）为单调递减函数；
所以，f（x）的单调递增区间是[

1

e

， +∞)，f（x）的单调递减区间是(0， 

1

e

]
（Ⅱ）由不等式f（x）＜x+m，得f（x）-x＜m，令F（x）=f（x）-x，则F（x）=（e-1）x-lnx
由题意可转化为：在区间[

1

e

， e]内，F（x）_min＜m，F′(x)=[ ，令F′（x）=0，得x=

1

e-1

x	1 e	( 1 e ，  1 e-1 )	1 e-1	( 1 e-1 ， e)	e
F′（x）		-	0	+
F（x）		递减	极小值	递增

由表可知：F（x）的极小值是F(

1

e-1

)=(e-1)×

1

e-1

-ln

1

e-1

=1+ln(e-1)且唯一，
所以F（x）_min=1+ln（e-1）．因此，所求m的取值范围是（ln（e-1），+∞）．

点评：本题第二问主要考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．