Question

函数y=x+2sinx在区间[

π

2

，π]上的最大值是（　　）

• A、

  2π

  3

  +

  3

• B、

  2π

  3

• C、

  3

• D、以上都不对

Answer 1

分析：本题是由一元一次函数与三角函数结合构成的函数，可以用导数求其最值．

解答：解：函数 y=x+2sinx 求导可得：y^′=1+2cosx，x∈[

π

2

，π]
令导数 y^′=1+cosx=0，得cosx=-

1

2

∈[-1，0]
当cosx∈[-

1

2

，0]，即x∈[

π

2

，

2π

3

]时，y^′=1+2cosx＞0，则原函数在该区间上是单调递增；

当cosx∈[-1， -

1

2

)，即x∈[

2π

3

，π]时，y^′=1+2cosx＜0，则原函数在该区间上是单调递减，
∴当cosx=-

1

2

时，函数y=x+2sinx有最大值为

2π

3

+2×

3

2

=

2π

3

+

3

．
故选A．

点评：导数是数学学习的一种解决问题的工具，是函数几何意义的代数表达，导数是求解函数最值的有效手段之一．