Question

正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长为a,在侧棱BB₁上截取BD=,在侧棱CC₁上截取CE=a,过A、D、E作棱柱的截面.

（1）求证：截面ADE⊥侧面ACC₁A₁；

（2）求截面面积.

Answer 1

（1）证明:延长ED、CB交于F，连结AF，

∵DB∥EC，

∴.

∴FB=BC=AB.

∴∠FAC=90°，即FA⊥AC.

又FA⊥A₁A，

∴FA⊥侧面AA₁C₁C.由FA截面ADE，

∴截面ADE⊥侧面ACC₁A₁.

（2）解析:在Rt△FAC中，AC=a,FC=2a,

∴AF=a.又D为Rt△FAE斜边EF的中点，

∴S_△ADE=.

小结：解决棱柱中点、线、面的问题常根据第一单元的基本知识解决，证明截面ADE⊥侧面ACC₁A₁，只要按判定定理证明就可以了.本题也可这样解决：取CE的中点，AE的中点，证明平面ADE⊥平面ACC₁A₁.