Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧

BC

的中点，连接AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．
（Ⅰ）求证：OE=

1

2

AC；
（Ⅱ）求证：

PD

PA

=

BD2

AC2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为AB为⊙O直径，所以AC⊥BC，因为D是弧

BC

的中点，由垂径定理得OD⊥BC，因此OD∥AC．再由点O为AB的中点，能证明OE=

1

2

AC．
（Ⅱ）连接CD，因为PC是⊙O的切线，所以∠PCD=∠CAP，△PCD∽△PAC．由此能够证明

PD

PA

=

BD2

AC 2

．

解答：（Ⅰ）证明：因为AB为⊙O直径，
所以∠ACB=90°，即 AC⊥BC，
因为D是弧

BC

的中点，由垂径定理
得OD⊥BC，因此OD∥AC  （3分）
又因为点O为AB的中点，所以点E为
BC的中点，所以OE=

1

2

AC  （2分）
（Ⅱ）证明：连接CD，因为PC是⊙O的切线，
所以∠PCD=∠CAP，
又∠P是公共角，
所以△PCD∽△PAC．
得

PC

PA

=

PD

PC

=

CD

AC

，
∴

PC

PA

×

PD

PC

=

CD

AC

×

CD

AC

，
∴

PD

PA

=

CD2

AC2

． （3分）
因为D是弧

BC

的中点，所以CD=BD，因此

PD

PA

=

BD2

AC 2

．   （2分）

点评：本题考查圆周角定理的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．