Question

已知a＞0，设命题p：函数y=a^x为减函数；命题q：当x∈[

1

2

，2]时，函数y=x+

1

x

＞

1

a

恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

由题意得
∵函数y=a^x为减函数
∴0＜a＜1
∵函数y=x+

1

x

，x∈[

1

2

，2]
∴函数的值域为[2，2.5]
∵函数y=x+

1

x

＞

1

a

恒成立
∴y_min＞

1

a

∴a＞

1

2

∵p∨q为真命题，p∧q为假命题
∴命题p与命题q一个是真一个是假
∴0＜a≤

1

2

或a≥1
所以a的取值范围为(0，

1

2

]∪[1，+∞)．
故答案为(0，

1

2

]∪[1，+∞)．