Question

现有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍,问如何设计使总造价最小?

Answer 1

思路分析:桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定,由于二者单位面积的价格不同,在保持铁桶容积不变的前提下,应当合理使用两种材料,才能保证总造价最小.

解:设圆柱高为h,底面半径为r,又设单位面积铁的总造价为m,桶造价为y,则

y=3mπr²+m(πr²+2πrh).

由于V=πr²h,得h=,所以y=4mπr²+(r＞0).

所以y′=8mπr-,

令y′=0,得r=,此时h=.

该函数在(0,+∞)内连续可导,且只有一个使函数的导数为零的点,问题中总造价的最小值显然存在,当r=时,y有最小值,即h∶r=4时,总造价最小.

答:当h∶r=4时,总造价最小.