Question

已知函数f（x）=lg（x+

a

x

-2），其中a是大于0的常数．
（1）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（2）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对g（x）=x+

a

x

-2，利用导数研究g（x）单调性，再利用复合函数的单调性进行求解；
（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，只要求出f（x）的最大值即可，利用导数研究f（x）的最值；

解答：解：（1）设g（x）=x+

a

x

-2，当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时
则g′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

＞0恒成立，
∴g（x）=x+

a

x

-2在[2，+∞）上是增函数
∴f（x）=lg（x+

a

x

-2）在[2，+∞）上是增函数，
∴f（x）=lg（x+

a

x

-2）在[2，+∞）上的最小值为f（2）=lg

a

2

   …6分
（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即x+

a

x

-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立…8分
∴a＞3x-x²，而h（x）=3x-x²=-（x-

3

2

）²+

9

4

在x∈[2，+∞）上是减函数 …10分
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2；

点评：此题主要考查函数的恒成立问题，利用了常数分离法，这也是高考常用的方法，本题是一道中档题；