Question

已知棱长为a的实心正四面体模型的一条棱AB在桌面α内，设点P是模型表面上任意一点，记P到桌面α的距离的最大值为h，则h的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由已知中棱长为a的实心正四面体模型的一条棱AB在桌面α内，设点P是模型表面上任意一点，记P到桌面α的距离的最大值为h，则CD棱与平面α平行，则P到桌面α的距离的最大值h取最小值，正四面体ABCD的一个面与平面α重合时，P到桌面α的距离的最大值h取最大值，根据正四面体的几何意义，求出h的最值，即可得到h的取值范围．

解答：解：∵棱长为a的实心正四面体模型的一条棱AB在桌面α内，
若CD棱与平面α平行，则P到桌面α的距离的最大值h取最小值
此时h等于AB和CD两条异面直线之间的距离

2

2

a
当正四面体ABCD的一个面与平面α重合时，
不妨令平面ABC与平面α重合
此时P到桌面α的距离的最大值h取最大值，
此时h等于D点到平面ABC的距离

6

3

a
故h的取值范围是[

2

2

a，

6

3

a]
故答案为：[

2

2

a，

6

3

a]

点评：本题考查的知识点是空间点到平面的距离，其中熟练掌握正四面体的几何特征，包括两条件 异面棱之间的距离，棱锥的高等是解答本题的关键．