Question

（1）设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的一条对称轴为直线x=

π

8

，求φ值；
（2）已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，x∈[0，

π

3

]求函数f（x）的最大值，最小值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦函数的对称轴方程2x+φ=kπ+

π

2

（k∈Z），结合题意即可求得φ；
（2）由x∈[0，

π

3

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，再利用正弦函数的单调性与最值即可求得函数f（x）的最大值，最小值．

解答：解：（1）依题意，f（x）=sin（2x+φ）的对称轴方程由2x+φ=kπ+

π

2

（k∈Z）得：
x=

kπ

2

+

π

4

-

φ

2

（k∈Z），
∵x=

π

8

为其一条对称轴，
∴φ=kπ+

π

2

-

π

4

=kπ+

π

4

（k∈Z），
又-π＜φ＜0，
∴φ=-

3π

4

；
（2）∵x∈[0，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴2≤sin（2x+

π

6

）+

3

2

≤

5

2

，
∴f（x）的最大值为

5

2

，最小值为2．

点评：本题考查正弦函数的对称性，单调性与最值，考查运算能力，属于中档题．