Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则x₀称为f（x）的不动点，f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）．
（1）已知函数有两个不动点为3，-1，求函数的零点．
（2）若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于函数f（x）有两个不动点为3，-1，利用不动点的新定义可得

3=9a+3(b+1)+(b-1) -1=a-(b+1)+(b-1)

，解出即可得到a，b；再利用一元二次方程的解法即可得出；
（2）对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点?ax²+（b+1）x+（b-1）=x有两个不相等的实数根?a≠0，△=b²-4a（b-1）＞0对于任意实数恒成立，?△₁=（-4a）²-16a＜0恒成立，解出即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）有两个不动点为3，-1，
∴

3=9a+3(b+1)+(b-1) -1=a-(b+1)+(b-1)

，解得

a=1 b=-2

．
∴f（x）=x²-x-3．
令x²-x-3=0，解得x=

1± 13

2

．
∴函数f（x）的两个零点分别为

1± 13

2

．
（2）∵对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，
∴ax²+（b+1）x+（b-1）=x即ax²+bx+（b-1）=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，△=b²-4a（b-1）＞0恒成立，即b²-4ab+4a＞0对于任意实数恒成立，
∴△₁=（-4a）²-16a＜0恒成立，化为a（a-1）＜0，解得0＜a＜1．
∴实数a的取值范围是（0，1）．

点评：本题综合考查了恒成立问题的等价转化、新定义的理解和应用、一元二次方程的求根公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．