Question

定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2011且当x＞0时，有f（x）＞2011，设M、N分别为f（x）在[-2012，2012]的最大值与最小值，则M+N的值为

1. A.
   4022
2. B.
   4024
3. C.
   2011
4. D.
   2012

Answer 1

A
分析：将f（x+y）=f（x）+f（y）-2011变形为f（x+y）-f（y）=f（x）-2011，令x＞0，结合“当x＞0时，有f（x）＞2011”分析可得，f（x）在[-2011，2011]上为增函数，则有M=f（2011），N=f（-2011）；在f（x+y）=f（x）+f（y）-2011中，令x=y=0可得，f（0）=2011，再令x=2011，y=-2011可得，f（2011）+f（-2011）=4022，又由M=f（2011），N=f（-2011），代换可得答案．
解答：根据题意，f（x+y）=f（x）+f（y）-2011?f（x+y）-f（y）=f（x）-2011，
当x＞0时，有（x+y）-y＞0，此时f（x+y）-f（y）=f（x）-2011＞0，
则f（x）在[-2011，2011]上为增函数，
故M=f（2011），N=f（-2011）；
对于f（x+y）=f（x）+f（y）-2011，
令x=y=0可得，f（0）=2f（0）-2011，即f（0）=2011，
再令x=2011，y=-2011可得，f（0）=f（2011）+f（-2011）-2011，
即f（2011）+f（-2011）=f（0）+2011=4022，
又由M=f（2011），N=f（-2011），
则M+N=4022，
故选A．
点评：本题考查抽象函数的运用，解此类题目一般用特殊值法，解本题关键要判断出f（x）的单调性，进而得到M、N的值．