Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且f(

x

y

)=f(x)-f(y)．
（1）求f（1）；
（2）求证f（xy）=f（x）+f（y）；
（3）若f（2）=1，解不等式f(x)-f(

1

x-3

)≤2．

Answer 1

分析：（1）结合所给的抽象表达式，只需令x=y≠0即可获得问题的解答；
（2）结合抽象表达式用xy代替x，y不变，即可获得f(xy)-f(y)=f(

xy

y

)=f(x)转化即可获得问题的解答；
（3）首先利用数值的搭配计算f（4）=2，进而对不等式进行转化，然后结合函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且
f（1）=0，f（2）=1，于是f（2）＞f（1），进而可分析出函数在（0，+∞）上的单调性，结合变性后的抽象函数即可获得自变量x的要求，进而问题即可获得解答．

解答：解：（1）令x=y≠0，可得f（1）=f（x）-f（x）=0，
∴f（1）=0．
（2）由题意得：f(xy)-f(y)=f(

xy

y

)=f(x)，
∴f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2，∴f(x)-f(

1

x-3

)≤2=f(4)，
∴f（x（x-3））≤f（4），
因为：f（1）=0，f（2）=1，于是f（2）＞f（1），
而函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
故函数y=f（x）在区间（0，+∞）上单调增函数，
于是原不等式可化为

x(x-3)≤4 x＞0 1 x-3 ＞0

，∴3＜x≤4
∴原不等式的解集为（3，4]．

点评：本题考查的是抽象函数及其应用的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、特值的思想、转化的思想以及计算和解不等式组的能力．值得同学们体会和反思．