题目内容
已知椭圆
（a＞b＞0）的离心率为
，且过点（
）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l:y=kx+t与圆
（1＜R＜2）相切于点A，且l与椭圆E只有一个公共点B.
①求证：
；
②当R为何值时，
取得最大值？并求出最大值．
(1)
；（2）①证明见解析；②
时，取得最大值为1．
解析试题分析：(1)椭圆的离心率为
，又椭圆过已知点，即
，再加上
，联立可求得
；（2）直线与圆及椭圆都相切，因此可以把直线方程与椭圆方程(或圆方程)联立方程组，此方程组只有一解，由此可得到题中参数的关系式，当然直线与圆相切，可利用圆心到直线的距离等于圆的半径来列式，得到的两个等式中消去参数
即可证得①式；而②要求
的最大值，可先求出，注意到
，因此
，这里设
，由①中的方程(组)可求得
，最终把用
表示，
，利用不等式知识就可求得最大值.
试题解析：(1)椭圆E的方程为 4分
（2）①因为直线
与圆C:
相切于A,得
,
即
① 5分
又因为与椭圆E只有一个公共点B，
由
得
,且此方程有唯一解.
则
即
②由①②,得
8分
②设
，由
得
由韦达定理,
∵点在椭圆上,∴
∴
10分
在直角三角形OAB中,
∴
12分
考点：椭圆的标准方程，直线与圆相切，直线与椭圆相切.
练习册系列答案
相关题目
．称圆心在原点O，半径为
的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到F的距离为
．
，使得
与椭圆C都只有一个交点，试判断
的左、右焦点分别为
，其上顶点为
已知
是边长为
的正三角形．
的方程；
任作一动直线
交椭圆
两点，记
．若在线段
上取一点
，使得
，当直线
（a>b>0），过点(0，1)，且离心率为
．
与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时，
恒为定值．
到两个定点
、
的距离之和为
，线段
的长为
.
；
时，过点
与轨迹
两点，且点
的垂直平分线为
的面积的最大值；
、
关于直线
在抛物线
上，直线
（
，且
）与抛物线
，相交于
、
两点，直线
、
分别交直线
于点
、
.
的值；
，求直线
的方程；
为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.
，直线
，
是抛物线的焦点。
，使点
的距离最小；
，求弦AB的长度；
两点,求
的最小值.
所围成的封闭图形的面积为
，曲线C1上的点到原点O的最短距离为
．以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2．
,若椭圆
的右顶点为圆
的圆心，离心率为
．
，使得直线
与椭圆
分别交于
两点，与圆
两点，点
在线段
上，且
，求圆
的取值范围．