Question

某人花费200万元购买了一辆大客车，用于长途客运，预计这辆车每年收入约100万元，车运营的花费P（万元）与运营年数x（x∈N^*）的关系为p=8x（1+x）．
（1）写出这辆车运营的总利润y（万元）与运营年数x（x∈N^*）的函数关系式；
（2）这辆车运营多少年，可使年平均运营利润w最大？最大为多少？

Answer 1

分析：（1）由题意可得：这辆车x年总收入为100x万元，总支出为200+8x（1+x）（万元）．用总收入减去总支出即可得到总利润；
（2）年平均利润为w=

y

x

=

4(-2x2+23x-50)

x

=4[23-2(x+

25

x

)]．利用基本不等式即可得出．

解答：解：（1）依题意，这辆车x年总收入为100x万元，
总支出为200+8x（1+x）（万元）．
∴y=100x-[200+8x（1+x）]=-8x²+92x-200=4（-2x²+23x-50）．
（2）年平均利润为w=

y

x

=

4(-2x2+23x-50)

x

=4[23-2(x+

25

x

)]．
又x∈N^*，∴x+

25

x

≥2 

x• 25 x

=10，
当且仅当x=5时，等号成立，此时w≤4×（23-20）=12．
∴这辆车运营5年，可使年平均运营利润w最大为12万元．
答：（1）这辆车运营的总利润y（万元）与运营年数x（x∈N^*）的函数关系式是y=-8x²+92x-200．；
（2）这辆车运营5年，可使年平均运营利润w最大，最大为12万元．

点评：本题考查了“总利润=总收入-总支出”的关系、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．