Question

（本小题满分12分）
已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面的射影是。
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若点分别在棱上上，且，问点在何处时，；
（Ⅲ）若，求二面角的大小（用反三角函数表示）。

Answer 1

（Ⅰ）连，则为的交点，为AC，的交点。
由平行六面体的性质知：且 四边形为平行四边形，K]
 
又平面平面
又平面  
平面平面
（Ⅱ）作平面，垂足为，
则，点在直线上，
且EF在平面ABCD上的射影 为。
由三垂线定理及其逆定理，知
，，从而又
从而 当为的三等分点（靠近B）时，有
（III）过点作，垂足为，连接。
平面ABCD，
又 平面。由三垂线定理得
为二面角的平面角。
在中， ，
又   
二面角的大小为

解析