Question

第8题的题干为：如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．
（1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？
变式（1）在第8题中，若正方形改为矩形，情况又如何？
（2）在第8题中，若正方形改为正方体，圆改为球，情况如何？

Answer 1

分析：（1）由题意可知三角形CEO₁为等腰直角三角形，根据勾股定理得到CO₁等于

2

R₁；同理得到AO₂等于

2

R₂，根据线段AC等于AO₂+O₂O₁+O₁C，将各自的值代入即可表示出AC的长，又根据正方形的边长为1，利用勾股定理求出AC的长度，两者相等即可求出两半径之和的值；
（2）根据两圆的半径，利用圆的面积公式表示出两圆的面积之和，由（1）中求出的两半径之和表示出R₂，代入两圆的面积之和的式子中消去R₂，得到关于R₁的关系式，根据完全平方大于等于0求出两圆面积之和的最小值时，两半径的值即可．
变式：（1）设AB=a，AD=b，作直角△O₁O₂G，利用勾股定理可得（R₁+R₂）²=[b-（R₁+R₂）]²+[a-（R₁+R₂）]²解得R₁+R₂=（a+b）-

2ab

，表示出两圆面积之和S=πR₁²+πR₂²，当R₁或R₂=

1

2

min（a，b）时，S有最大值．
（2）球O₁和球O₂外切，球O₁和以C₁为顶的三面角的三个面相切，球O₂和以A为顶的三面角的三个面相切（设棱长为1），求出两球的体积和，然后利用二次函数求出最大值即可．

解答：解：（1）由图知∠CEO₁=90°，CE=O₁E=R₁
∴2R₁²=CO₁²，CO₁=

2

R1．
同理AO₂=

2

R2．
∴AC=AO₂+O₂O₁+O₁C
=

2

（R₁+R₂）+（R₁+R₂）
=(

2

+1)（R₁+R₂），
又∵AB=1，∴AC=

2

∴(

2

+1)（R₁+R₂）=

2

，
∴R₁+R₂=

2

2 +1

=2-

2

；
（2）两圆面积之和S=πR₁²+πR₂²
=π(R12+R22)=π[R12+(2-

2

-R1)2]
=π[2R12-2(2-

2

)R1+(2-

2

)2]
=2π[(R1-

2- 2

2

)2+

(2- 2 )2

4

]．
∴当R₁=

2- 2

2

，即R₁=R₂时S为最小．
因R₁的最大值为R₁=

1

2

，这时R₂为最小值，其值为R₂=(2-

2

)-

1

2

=

3

2

-

2

；
又当R₂=

1

2

时，R₁有最小值R₁=

3

2

-

2

，
故当R₁=

1

2

（此时R₂=

3

2

-

2

）或R₁=

3

2

-

2

（此时R₂=

1

2

）时，S有最大值．
变式解：（1）如图，ABCD为矩形．
设AB=a，AD=b
作直角△O₁O₂G则有
（R₁+R₂）²=[b-（R₁+R₂）]²+[a-（R₁+R₂）]²
解之，得R₁+R₂=（a+b）±

2ab

但∵a+b＞R₁+R₂；，
∴R₁+R₂=（a+b）-

2ab

（2）因两圆面积之和S=πR₁²+πR₂²

=2π[(R1- a+b- 2ab 2 )2+ (a+b- 2ab )2 4 ]. ∴当R1= a+b- 2ab 2 ，即R1=R2时，S有最小值.

当R₁或R₂=

1

2

min（a，b）时，S有最大值．
如图，球O₁和球O₂外切，
球O₁和以C₁为顶的三面角的三个面相切，
球O₂和以A为顶的三面角的三个面相切（设棱长为1）
同前类似可计算出AO₂=

3

R₂，C₁O₁=

3

R₁，R₁+R₂=

3- 3

2

．
两球的体积和V=

4

3

πR13+

4

3

πR23

= 4 3 π(R13+R23)= 4 3 π(R1+R2)(R12-R1R2+R22)

= 4 3 π• 3- 3 2 [(R1+R2)2-3R1R2]

= 2(3- 3 )π 3 {( 3- 3 2 )2-3[( 3- 3 2 )R1-R12]}

= 2(3- 3 )π 3 {( 3- 3 2 )2-3[( 3- 3 4 )2-( 3- 3 4 -R1)2]}

= 2(3- 3 )π 3 {[( 3- 3 2 )2-3( 3- 3 4 )2]+3( 3- 3 4 -R1)2}．

∴当R1= 3- 3 4 ，即R1=R2时，V有最小值．

当R2= 1 2 ，R1= 3- 3 2 - 1 2 = 2- 3 2 (或R1= 1 2 ，R2= 2- 3 2 )时，V有最大值

注：在（1）中的a，b必须限制为b＜a≤2b，否则在矩形内之二圆无法相切．

点评：此题考查学生掌握正方形的性质，掌握直线与圆相切时所满足的条件以及两圆外切时所满足的条件，是一道多知识的综合题．变式题主要考查了长方形的两个内切圆，以及正方体的内切球和球的性质，同时考查了空间想象能力，属于中档题．