题目内容

一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤．但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤5元，稻米每公斤卖3元．现该农民手头有400元．
（1）设该农民种x亩水稻，y亩花生，利润z元，请写出约束条件及目标函数；
（2）问两种作物各种多少，才能获得最大收益？

解：（1）约束条件为

$\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ …（4分）
目标函数为z=（3×400-240）x+（5×100-80）y=960x+420y
…（7分）
（2）作出可行域如图所示，…（9分）
把z=960x+420y变形为y= $\text{[math]}$ ，
得到斜率为- $\text{[math]}$ ，在y轴上的截距为 $\text{[math]}$ ，
随z变化的一族平行直线；当直线y= $\text{[math]}$
经过可行域上的点B时，截距 $\text{[math]}$ 最大，即z最大．
解方程组 $\text{[math]}$ 得B的坐标是（1.5，0.5）…（12分）
故当x=1.5，y=0.5时，z_max=1650元 …（13分）
答：该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元．…（14分）
分析：（1）先根据该农民种x亩水稻，y亩花生时，能获得利润z元，结果题中条件，即可写出约束条件及目标函数；
（2）再根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，目标函数表示直线在y轴上的截距的420倍，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
点评：本题主要考查了简单的线性规划在实际生活中的应用，以及利用几何意义求最值．

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（1）设该农民种x亩水稻，y亩花生，利润z元，请写出约束条件及目标函数；
（2）问两种作物各种多少，才能获得最大收益？

(本小题满分14分)
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(本小题满分14分)

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