Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-2ax+lnx有两个极值点x₁、x₂，且x₁•x₂＞

1

2

．
（Ⅰ）求实数a的取值范围M；
（Ⅱ）若?x₀∈[1+

2

2

，2]，使不等式f（x₀）+ln（a+1）＞b（a²-1）-（a+1）+2ln2对?a∈M恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对函数求导，由题意可得f′（x）=0有两个不等式实数根x₁、x₂，且x₁•x₂＞

1

2

，根据方程的根与系数关系建立关于a的不等式，从而可求a的范围
（Ⅱ）由（I）中a的范围可判断f（x）在（0，x₁），（x₁，x₂），（x₂，+∞）上的单调性及x2=1+

1- 1 a

＜1+

2

2

，可得f（x）在[1+

2

2

，2]单调性，从而可求f（x）_max=f（2），由已知整理可得不等式ln（a+1）-ba²-a+b-ln2+1＞0对任意的a（1＜a＜2）恒成立．通过研究函数g（a）=ln（a+1）-ba²-a+b-ln2+1的单调性可求

解答：解：（Ⅰ）对函数求导可得，f′(x)=ax-2a+

1

x

=

ax2-2ax+1

x

（x＞0），…（2分）
令f′（x）=0可得ax²-2ax+1=0
∴

a≠0 △=4a2-4a＞0 x1+x2＞0 x1x2＞ 1 2

，即

a≠0 4a2-4a＞0 2＞0 1 a ＞ 1 2

，…（4分）
解得a的取值范围M=（1，2）．                     …（6分）
（Ⅱ）由ax²-2ax+1=0，解得x1=

a- a2-a

a

，x2=

a+ a2-a

a

，
而f（x）在（0，x₁）上递增，在（x₁，x₂）上递减，在（x₂，+∞）上递增
∵1＜a＜2，
∴x2=1+

1- 1 a

＜1+

2

2

∴f（x）在[1+

2

2

，2]单调递增
∴在[1+

2

2

，2]上，f（x）_max=f（2）=-2a+ln2．    …（7分）
∴?x₀∈[1+

2

2

，2]，使不等式f（x₀）+ln（a+1）＞b（a²-1）-（a+1）+2ln2对?a∈M恒成立，
等价于不等式-2a+ln2+ln（a+1）＞b（a²-1）-（a+1）+2ln2恒成立
即不等式ln（a+1）-ba²-a+b-ln2+1＞0对任意的a（1＜a＜2）恒成立．…（8分）
令g（a）=ln（a+1）-ba²-a+b-ln2+1，则g（1）=0．，g′(a)=

-2ba(a+1+ 1 2b )

a+1

，
①当b≥0时，g′(a)=

-2ba(a+1+ 1 2b )

a+1

＜0，g（a）在（1，2）上递减．
g（a）＜g（1）=0，不合题意．
②当b＜0时，g′(a)=

-2ba(a+1+ 1 2b )

a+1

，
∵1＜a＜2
若-（1+

1

2b

＞1，即-

1

4

＜b＜0时，则g（a）在（1，2）上先递减，
∵g（1）=0，
∴1＜a＜2时，g（a）＞0不能恒成立；
若-(1+

1

2b

)≤1，即b≤-

1

4

时，则g（a）在（1，2）上单调递增，
∴g（a）＞g（1）=0恒成立，
∴b的取值范围为（-∞，-

1

4

]…（12分）

点评：本题主要考查了函数的导数的应用：函数的导数在求解函数的极值、函数的单调性及函数的最值中的应用，要注意分类讨论思想及构造转化思想的应用