题目内容
（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．
设
为定义域为
的函数，对任意
，都满足：
，
，且当
时，
（1）请指出在区间
上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；
（2）试证明是周期函数，并求其在区间
上的解析式．
解：（1）偶函数； .………………………………………………………………………1分
最大值为2、最小值为0； .…………….……………………………………………………1分
单调递增区间：
，单调递减区间：
...………………………………………1分
零点：
． .…………………………..……………………………………………………1分
单调区间证明：
当
时，
设
，
，
，
所以，
在区间
上是递减函数． ………………………………………………….4分
以下证明在区间上是递增函数．
【证明一】因为在区间
上是偶函数．
对于任取的
，，有
所以，在区间上是递增函数． ………………………………………………...4分
【证法二】设
，由在区间上是偶函数，得
以下用定义证明在区间上是递增函数 ………………………………………..4分
（2）设
，
，
所以，2是周期． ……………………………………………………………4分
当
时，
，
所以
4分
练习册系列答案
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}和{
}满足：对于任何
，有
，
为非零常数），且
．
是
与
的等差中项，试求
的值，并研究：对任意的
}和{
}满足：对于任何
，有
，
为非零常数），且
．
是
与
的等差中项，试求
的值，并研究：对任意的
为定义域为
的函数，对任意
，都满足：
，
，且当
时，
上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；
上的解析式．
}和{
}满足：对于任何
，有
，
为非零常数），且
．
是
与
的等差中项，试求
的值，并研究：对任意的
为定义域为
的函数，对任意
，都满足：
，
，且当
时，
上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；
上的解析式．