Question

已知P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上的点，F₁、F₂是其焦点，双曲线的离心率是

5

4

，且

PF1

•

PF2

=0，若△PF1F2的面积为9，则a+b的值为（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

分析：由双曲线的离心率 求得

b

a

=

3

4

，根据△PF₁F₂ 的面积等于9得到|PF₁|•|PF₂|=18，在△PF₁F₂中，由勾股定理和双曲线的定义，可得b=3，从而求得a+b 的值．

解答：解：双曲线的离心率是

c

a

=

a2+b2

a

=

5

4

，∴

b

a

=

3

4

．∵

PF1

 •

PF2

=0，
∴

PF1

 ⊥

PF2

，∴△PF₁F₂ 的面积S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=9，∴|PF₁|•|PF₂|=18．
在△PF₁F₂中，由勾股定理可得  4c²=|PF₁|²+|PF₂|²=（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁|•|PF₂|
=4a²+36，∴a²+b²=a²+9，∴b=3，∴a=4，
∴a+b=7，
故选 C．

点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用双曲线的定义是解题的难点．