题目内容
已知x，y，z∈R+，求证：
（1）（x+y+z）3≥27xyz；
（2）(
+
+
)(
+
+
)≥9；
（3）（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．
（1）（x+y+z）3≥27xyz；
（2）(
| x |
| y |
| y |
| z |
| z |
| x |
| y |
| x |
| z |
| y |
| x |
| z |
（3）（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．
分析：利用基本不等式，结合不等式的性质，即可证明结论．
解答：证明：（1）∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3
，当且仅当x=y=z时，取等号，∴（x+y+z）3≥27xyz；
（2）∵x，y，z∈R+，∴
+
+
≥3
=3，
+
+
≥3
=3，当且仅当x=y=z时，取等号，
∴两式相乘，可得(
+
+
)(
+
+
)≥9；
（3））∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3
，x2+y2+z2≥3
，当且仅当x=y=z时，取等号，
∴两式相乘可得（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．
| 3 | xyz |
（2）∵x，y，z∈R+，∴
| x |
| y |
| y |
| z |
| z |
| x |
| 3 |
| ||||||
| y |
| x |
| z |
| y |
| x |
| z |
| 3 |
| ||||||
∴两式相乘，可得(
| x |
| y |
| y |
| z |
| z |
| x |
| y |
| x |
| z |
| y |
| x |
| z |
（3））∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3
| 3 | xyz |
| 3 | x2y2z2 |
∴两式相乘可得（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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