Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x²，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x）≤4f（x+t）恒成立，则实数t的最大值是（　　）

• A．-

  2

  3

• B．0
• C．

  3

  2

• D．2

Answer 1

分析：由当x≤0时，f（x）=x²，函数是奇函数，可得当x＞0时，f（x）=-x²，从而f（x）在R上是单调递减函数，且满足4f（x+t）=f（2x+2t）．再根据不等式f（x）≤4f（x+t）在[t，t+2]恒成立，可得x≥2x+2t在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．

解答：解：当x≥0时，f（x）=x²
∵函数是奇函数∴当x＞0时，f（x）=-x²，
∴f（x）=

x2(x≤0) -x2(x＞0).

∴f（x）在R上是单调递减函数，且满足4f（x+t）=f（2x+2t），
不等式f（x）≤4f（x+t）在[t，t+2]恒成立，
x≥2x+2t在[t，t+2]恒成立，
即：t≤-

1

2

x在[t，t+2]恒成立，
∴t≤-

1

2

（t+2），解得t≤-

2

3

，故实数t的最大值是-

2

3

．
故选：A．

点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．