Question

在△ABC中，cos²

A

2

=

b+c

2c

（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为

直角三角形

．

Answer 1

分析：在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos²

A

2

=

b+c

2c

转化为1+cosA=

sinB

sinC

+1，整理即可判断△ABC的形状．

解答：解：在△ABC中，∵cos²

A

2

=

b+c

2c

，
∴

1+cosA

2

=

sinB+sinC

2sinC

=

1

2

sinB

sinC

+

1

2

∴1+cosA=

sinB

sinC

+1，
∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC=0，sinA≠0，
∴cosC=0，
∴C为直角．
故答案为：直角三角形．

点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．