Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC⊥BC，F为BB₁上一点，BF=a,FB₁=4a,BC=2a.

（1）若E为AC上不同于A和C的任意一点，求证：EF⊥FC₁；

（2）A₁B₁=3a，求FC₁与平面AA₁B₁B所成的角.

Answer 1

（1）证法一：如图，建立坐标系，?

则F（0，2a,a）,C₁(0,0,5a),?

设E（x,0,0），∴=(-x,2a,a), =(0,-2a,4a).?

∴·=0.?

∴EF⊥FC₁.

证法二：设=2a, =5c，=x,其中a·c=a·x=c·x=0,|a|=|c|=1,?

∴=-c-2a+x,?

=4c-2a.?

∴·=-4+4=0.

∴FE⊥FC₁.?

（2）解析：过C₁作C₁D₁⊥A₁B₁于D₁，连FD₁，∴C₁D₁⊥面A₁ABB₁.?

∴∠C₁FD₁为所求角，C₁D₁⊥D₁F.?

∵|A₁B₁|=3a,|B₁C₁|=2a,?

∴|A₁C₁|=a.?

∴|D₁C₁|=,?

.?

∴sin∠C₁FD₁=.?

∴∠C₁FD₁=arcsin.