Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一个根为S_n-1，n=1，2，3，…．
（1）证明：数列{

1

Sn-1

}是等差数列；
（2）设方程x²-a_nx-a_n=0的另一个根为x_n，数列{

1

2nxn

}的前n项和为T_n，求2²⁰¹³（2-T₂₀₁₃）的值；
（3）是否存在不同的正整数p，q，使得S₁，S_p，S_q成等比数列，若存在，求出满足条件的p，q，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由S_n-1是方程x²-a_nx-a_n=0的根，代入可得s_n与a_n的递推关系，令n=1可求a₁，n≥2，利用a_n=S_n-S_n-1，化简得S_nS_n-1-2S_n+1=0，构造即可证明
（2）由（1）可求

1

sn-1

，带入方程可求a_n，进而可求x_n，代入利用错位相减可求T_n，进而可求
（3）由（1）可求S_n，假设存在不同的正整数p，q使得S₁，S_p，S_q成等比数列，结合等比数列的性质代入可求满足条件的p，q

解答：解：（1）证明∵S_n-1是方程x²-a_nx-a_n=0的根，n=1，2，3，…
∴(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0
当n=1时，a₁=S₁，
∴(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，
解得S1=a1=

1

2

，
∴

1

S1-1

=-2…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
∴(Sn-1)2-(Sn-Sn-1)(Sn-1)-(Sn-Sn-1)=0
化简得S_nS_n-1-2S_n+1=0，
∴Sn=

-1

Sn-1-2

，
∴

1

Sn-1

=

1

Sn-1-1

-1，
∴

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=-1，又

1

S1-1

=-2…（5分）
∴数列{

1

Sn-1

}是以-2为首项，-1为公差的等差数列          …（6分）
（2）由（1）得，

1

Sn-1

=-2-(n-1)=-n-1
∴Sn-1=-

1

n+1

，带入方程得，(-

1

n+1

)2-an(-

1

n+1

)-an=0，∴an=

1

n(n+1)

，
∴原方程为x2-

1

n(n+1)

x-

1

n(n+1)

=0，
∴xn=

1

n

，
∴

1

2nxn

=

1

n2n

…（8分）
∴Tn=

1

1×21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

2+n

2n+1

…（11分）Tn=2-

2+n

2n

，
∴2²⁰¹³（2-T₂₀₁₃）=2015…（12分）
（3）由（1）可得S_n=

n

n+1

假设存在不同的正整数p，q使得S₁，S_p，S_q成等比数列
则sp2=s1•sq
即(

p

p+1

)2=

q

2(q+1)

∵

q

2(q+1)

=

1

2

-

1

2(q+1)

＜

1

2

（14分）
∴(

p

p+1

)2＜

1

2

化简可得，p²-2p-1＜0
∴1-

2

＜p＜1+

2

∵p∈N^*且p＞1
∴p=2
∴

q

2(q+1)

=

4

9

∴q=8
∴存在不同的正整数p=2，q=8使得S₁，S_p，S_q成等比数列（16分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及数列的错位相减求和方法的应用，等比数列的性质的综合应用．