题目内容

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，抛物线C上的点M（2，m）到焦点F的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线C的方程：
（Ⅱ）过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A、B两点，若|AB|=4
6
，求直线l的方程．
（Ⅰ）∵抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，
抛物线C上的点M（2，m）到焦点F的距离为3，
∴设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），
M到准线的距离为3，即
p
2
+2=3，解得p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x．…（3分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-2），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y2=4x，
y=k(x-2)，
得k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，
根据韦达定理，x1+x2=
4(k2+1)
k2
，x1x2=4．
∴|AB|2=(1+k2)|x1-x2|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[
16(k4+2k2+1)
k4
-16]
=16(1+k2)
2k2+1
k4
=96
整理得4k4-3k2-1=0，解得k=±1．
∴直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0．…（10分）
练习册系列答案
相关题目
直线L：
x
4
+
y
3
=1与椭圆E：
x2
16
+
y2
9
=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，则实数k的取值范围为______．
如图，以
3
2
为离心率的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A和B，点P是椭圆位于x轴上方的一点，且△PAB的面积最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设点Q是椭圆位于x轴下方的一点，直线AP、BQ的斜率分别为k1，k2，若k1=7k2，设△BPQ与△APQ的面积分别为S1，S2，求S1-S2的最大值．
已知点P(-1，
3
2
)是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为
5
？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．
如图，已知椭圆C：x2+
y2
a2
=1(a＞1)的离心率为e，点F为其下焦点，点O为坐标原点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=
a2-1
）与椭圆C相交于P，Q两点，且满足：
OP
•
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
．
（Ⅰ）试用a表示m2；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若e∈(
1
3
，
1
2
)，求m的取值范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过点F2与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为4
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C（
1
3
，0），使得|AC|=|BC|，求直线l的方程．
已知椭圆C的焦点在x轴上，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点．若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=
2
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求点R（0，1）与椭圆C上的点N之间的最大距离；
（Ⅲ）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（-3，0），交y轴于点M．若
MQ
=2
QP
，求直线l的斜率．
已知抛物线C的方程为x2=4y，直线y=2与抛物线C相交于M，N两点，点A，B在抛物线C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为
2
；
（Ⅱ）若直线AB的斜率为
2
，求证点N到直线MA，MB的距离相等．

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