Question

已知函数y=f（x），x∈N^*，y∈N^*，满足：①对任意a，b∈N^*，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②对任意n∈N^*都有f[f（n）]=3n．
（I）试证明：f（x）为N^*上的单调增函数；
（II）求f（1）+f（6）+f（28）；
（III）令a_n=f（3ⁿ），n∈N^*，试证明：.

n

4n+2

≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

4

．

Answer 1

（I）由①知，对任意a，b∈N^*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），
所以函数f（x）为N^*上的单调增函数．
（II）令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．
从而a＞1，而由f（f（1））=3，
即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，又a∈N^*，
从而a=2，即f（1）=2．
进而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54-27=81-54=27，
而且由（I）知，函数f（x）为单调增函数，
因此f（28）=54+1=55．
从而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66．
（III）f（a_n）=f（f（3ⁿ））=3×3ⁿ=3ⁿ⁺¹，a_n+1=f（3ⁿ⁺¹）=f（f（a_n））=3a_n，a₁=f（3）=6．
即数列{a_n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴a_n=6×3^n-1=2×3ⁿ（n=1，2，3）．
于是

1

a1

+

1

a2

++

1

an

=

1

2

(

1

3

+

1

32

++

1

3n

)=

1

2

×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

4

(1-

1

3n

)，
显然

1

4

(1-

1

3n

)＜

1

4

，
另一方面3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+C_n¹×2+C_n²×2²++C_nⁿ×2ⁿ≥1+2n，
从而

1

4

(1-

1

3n

)≥

1

4

(1-

1

2n+1

)=

n

4n+2

．
综上所述，

n

4n+2

≤

1

a1

+

1

a2

++

1

an

＜

1

4

．