题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n= $数学公式$ （a_n-1）（a为常数，且a≠0，a≠1，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1+nb_n=yz{ $数学公式$ }^n-1- $数学公式$ ．
（1）求a_n与b_n的表达式；
（2）设c_n=（n+ $数学公式$ ）bn，试问数列{c_n}有没有最小项？如果有，求出这个最小项；如果没有，请说明理由．

解：（1）因为S_n= $\text{[math]}$ （a_n-1），
所以，当n=1时，a₁=S₁= $\text{[math]}$ （a₁-1），解之得a₁=a；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1= $\text{[math]}$ a_n- $\text{[math]}$ a_n-1，即 $\text{[math]}$ ．
又a≠0，a≠1，所以数列{a_n}是等比数列．
所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．
由b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1+nb_n=（n+10）•
（ $\text{[math]}$ ）^n-1- $\text{[math]}$ 得：b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1=（n+9）•（ $\text{[math]}$ ）^n-2- $\text{[math]}$ （n≥2）．
两式相减得nb_n=（n+10）•（ $\text{[math]}$ ）^n-1-（n+9）•（ $\text{[math]}$ ）^n-2=- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）^n-2．
故b_n=- $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ）^n-1（n≥2），
当n=1时，b₁=11- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ 也符合上式，
故b_n=- $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ）^n-1．
（2） $\text{[math]}$ ，
所以c_n+1-c_n=- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）ⁿ+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）^n-1
= $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ）^n-1．
当n＞8时，c_n+1＞c_n，故c₉＜c₁₀＜，
当n=8时，c_n+1-c_n=0，故c₉=c₈，
当n＜8时，c_n+1＜c_n，故c₁＞c₂＞c₃＞＞c₈．
综上可得，c₉、c₈是数列的最小项且c₈=c₉=-（ $\text{[math]}$ ）⁷．
分析：（1）由S_n= $\text{[math]}$ （a_n-1），知a₁=a， $\text{[math]}$ ．所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．由b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1+nb_n=（n+10）•（ $\text{[math]}$ ）^n-1- $\text{[math]}$ 得：b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1=（n+9）•（ $\text{[math]}$ ）^n-2- $\text{[math]}$ （n≥2）．由此能求出b_n．
（2） $\text{[math]}$ ，所以c_n+1-c_n=- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）ⁿ+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）^n-1= $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ）^n-1．经分类讨论知c₉、c₈是数列的最小项且c₈=c₉=-（ $\text{[math]}$ ）⁷．
点评：本题考查数列通项公式的求法和用分类讨论思想求解数列的最小值，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．