Question

已知函数f(x)＝x³－x，数列{a_n}满足条件：a₁≥1，a_n＋1≥f′(a_n＋1)．试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．

Answer 1

解　∵f′(x)＝x²－1，a_n＋1≥f′(a_n＋1)，∴a_n＋1≥(a_n＋1)²－1.

∵函数g(x)＝(x＋1)²－1＝x²＋2x在区间[1，＋∞)上单调递增，于是由a₁≥1，得a₂≥(a₁＋1)²－1≥2²－1，进而得a₃≥(a₂＋1)²－1≥2⁴－1＞2³－1，

由此猜想：a_n≥2ⁿ－1.

下面用数学归纳法证明这个猜想：

①当n＝1时，a₁≥2¹－1＝1，结论成立；

②假设n＝k(k≥1且k∈N^*)时结论成立，即a_k≥2^k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)²－1在区间[1，＋∞)上单调递增知，a_k＋1≥(a_k＋1)²－1≥2^2k－1≥2^k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立．

由①、②知，对任意n∈N^*，都有a_n≥2ⁿ－1.

即1＋a_n≥2ⁿ，∴≤，

∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－ⁿ＜1.