Question

已知函数f（x）=sin²x+2

3

sin（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）-cos²x-

3

．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为2sin（2x-

π

6

），由此求得函数f（x）的最小正周期和最值．
（2）由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得函数f（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）f（x）=sin²x+2

3

sin（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）-cos²x-

3

=2

3

 sin2(x+

π

4

)-cos2x-

3

=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∴函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
当 2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z 时，f（x）取最大值2；
当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z时，f（x）取最小值-2．
（2）由  2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5

6

π（k∈z），
∴单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈z）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的减区间，属于中档题．