Question

已知函数f（x）=logm

x-3

x+3

．
（1）求函数的定义域；        
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）、根据对数函数的定义域，可得

x-3

x+3

＞0，解可得x的范围，即可得答案；
（2）、分析可得f（x）的定义域关于关于原点对称，进而计算f（-x）的值，判断可得f（-x）=-f（x），即可得答案；
（3）、根据题意，分析可得[α，β]?（3，+∞），进而设x₁，x₂∈[α，β]，且x₁＜x₂，对f（x₁）-f（x₂）变形可得，f（x₁）-f（x₂）=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

，分0＜m＜1与m＞1两种情况讨论f（x₁）-f（x₂）的符号，即可得答案．

解答：解：（1）对于函数f（x）=logm

x-3

x+3

，
有

x-3

x+3

＞0，
解可得，x＞3或x＜-3，
则函数f（x）=logm

x-3

x+3

的定义域为{x|x＞3或x＜-3}；
（2）由（1）可得，f（x）=logm

x-3

x+3

的定义域为{x|x＞3或x＜-3}，关于原点对称，
f（-x）=log_m

-x-3

-x+3

=log_m

x+3

x-3

=-logm

x-3

x+3

，
即f（-x）=-f（x），
f（x）为奇函数；
（3）根据题意，f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]?（3，+∞）．
设x₁，x₂∈[α，β]，且x₁＜x₂，则x₁，x₂＞3，
f（x₁）-f（x₂）=logm

x1-3

x1+3

-logm

x2-3

x2+3

=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

∵（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）=6（x₁-x₂）＜0，
∴（x₁-3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂-3）即

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜1，
∴当0＜m＜1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
当m＞1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．

点评：本题考查函数的单调性、奇偶性的判断及应用，涉及对数函数的性质，注意判断之前先求函数的定义域，即奇偶性与单调性必须先满足定义域．