Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90º，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD。

（1）求直线FD与平面ABCD所成的角的正切值；

（2）求点D到平面BCF的距离；

（3）求二面角B—FC—D的大小。

Answer 1

解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90º，即EA⊥AB，而平面ABFE平面ABCD=AB，∴EA⊥平面ABCD。作FH∥EA交AB于H，则FH⊥平面ABCD。连接DH，则∠FDH为直线FD与平面ABCD所成的角。

    在Rt△FHD中，∵FH=EA=1，DH=，

    ∴

（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，∴EA⊥平面ABCD。

     分别以AD,AB,AE所在直线为轴,轴,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

     A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、

F(0,1,1),

     ∴

∵∴⊥平面BCF，

即=(0,1,1)为平面BCF的一个法向量，

又，

∴点D到平面BCF的距离为。

（3）∵，设为平面CDEF的一个法向量，则令，得，

即。

又（1）知，为平面BCF的一个法向量，

∵〈,〉=，

且二面角B—FC—D的平面角为钝角，

∴二面角B—FC—D的大小为120º。