Question

设函数f （x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（

3

cosx，sinx），

b

=（cosx，cosx）．
①若函数y=sin2x按向量

c

=（p，q） （|p|＜

π

2

）平移后得到函数y=f （x）的图象，求实数p，q的值．
②若f （x）=1+

3

2

，x∈[

π

2

，

π

2

]，求sinx．

Answer 1

分析：①先求出函数f （x）=

a

•

b

的表达式，利用二倍角公式和两角和的正弦函数，化简为f（x）=sin(2x+

2

3

π)+

3

2

，
根据平移求出向量

c

=（p，q），实数p，q的值．
②利用f （x）=1+

3

2

，得到sin（2x+

2

3

x）=1，然后求出x的值，再求sinx．

解答：解：①f（x）=

3

cos²x-sinxcosx=

3

2

(1+cos2x)-

1

2

sin2x=-

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

2

3

π)+

3

2

∴

C

=(-

π

3

，

3

2

)，∴p=-

π

3

，q=

3

2

（6分）
②sin（2x+

2

3

π）+

3

2

=1+

3

2

∴sin（2x+

2

3

x）=1
∴2x+

2

3

π=

π

2

+2kπ  (K∈z)
∴2x=-

π

6

+2kπ，x=-

π

12

+kπ（k∈Z）
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，∴x=-

π

12

（10分）
∴sin（-

π

12

）=-sin

π

12

=-

6 - 2

4

（12分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，二倍角公式，两角和的正弦函数公式的应用，三角函数的图象的平移，简单三角方程的解法，考查计算能力．