Question

已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.

（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；

（Ⅱ）设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

Answer 1

本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，满分14分.

    （Ⅰ）解：函数的定义域为.

       令

    当    当  又

    故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0.

   （Ⅱ）证法一：

               

由（Ⅰ）结论知

由题设 

因此 

     

所以 

又

综上 

证法二：

设  

则 

当  在此内为减函数.

当上为增函数.

从而，当有极小值

因此    即 

设    则

当   因此上为减函数.

因为

即