Question

袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是

2

5

；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是

7

9

．
（1）求袋中各色球的个数；
（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）和方差D（ξ）；
（3）若η=aξ+b，Eη=11，Dη=21，试求出a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：黑球个数为=4，设白球的个数为y，所以可得：

C 2 y + C 1 y C 1 10-y

C 2 10

=

7

9

进而求出答案．
（2）由题设知ξ的所有取值是0，1，2，3，分别求出其发生的概率即可得到ξ的分布列，进而得到期望与方差．
（3）根据题意可得：Eη=E（aξ+b）=aEξ+B，Dη=D（aξ+b）=a²Dξ，结合题意列方程组得：

3a 2 +b=11 7a2 12 =21

，即可求出a与b数值．

解答：解：（1）因为从袋中任意摸出1球得到黑球的概率是

2

5

，
设黑球个数为x，则：

x

10

=

2

5

解得：x=4…（1分）
设白球的个数为y，又从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是

7

9

，
则：

C 2 y + C 1 y C 1 10-y

C 2 10

=

7

9

解得：y=5…（3分）
所以 袋中白球5个，黑球4个，红球1个      …（4分）
（2）由题设知ξ的所有取值是0，1，2，3，则：P(ξ=0)=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

P(ξ=1)=

C 1 5 C 2 5

C 3 10

=

5

12

P(ξ=2)=

C 2 5 C 1 5

C 3 10

=

5

12

P(ξ=3)=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

…（6分）
分布列表为：

ξ	0	1	2	3
P	1 12	5 12	5 12	1 12

…（7分）
所以Eξ=

1

12

×0+

5

12

×1+

5

12

×2+

1

12

×3=

3

2

，
所以Dξ=

1

2

×(0-

3

2

)2+

5

12

×(1-

3

2

)2+

5

12

×(2-

3

2

)2+

1

12

×(3-

3

2

)2=

7

12

．
（3）∵η=aξ+b
∴Eη=E（aξ+b）=aEξ+B，Dη=D（aξ+b）=a²Dξ  …（10分）
又 Eη=11，Dη=21
所以

3a 2 +b=11 7a2 12 =21

               …（12分）
解得：

a=6 b=2

或

a=-6 b=20

即：所求a，b的值为

a=6 b=2

或

a=-6 b=20

…（14分）

点评：本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查对立事件的概率与古典概型等问题，以及离散型随机变量的期望与方差的公式，是一个综合题．