Question

设函数f(x)=

1

3

x3-2x2+ax(a∈R）在其图象上一点A（2，m）处切线的斜率为-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（b-1，b）内的极值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）导数在切点处的值是切线的斜率
（Ⅱ）导数为零处且其左右两侧符号相反是极值，注意极值是函数值，一定在定义域内求．

解答：解：（Ⅰ）解：函数f（x）的导数f'（x）=x²-4x+a，
由题意，得f'（2）=-4+a=-1，
所以a=3，
故f(x)=

1

3

x3-2x2+3x
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=x²-4x+3，
由f'（x）=x²-4x+3=0，得x=1，或x=3．
x变化时，f'（x），f（x）的变化如情况下表：

所以，当b≤1或b-1≥3时，即b≤1或b≥4函数f（x）无极值
当b-1＜1，且b＞1时，即1＜b＜2时，函数f（x）在x=1时，有极大值

4

3

，此时函数无极小值；
当b-1＜3，且b＞3时，即3＜b＜4时，函数f（x）在x=3时，有极小值0，此时函数无极大值；
当b-1≥1，且b≤3时，即2≤b≤3时，函数f（x）无极值．
故当b∈（-∞，1]∪[2，3]∪[4，+∞）时，函数f（x）无极值；
当b∈（1，2）时，函数f（x）在x=1时，有极大值

4

3

，此时函数无极小值；
当b∈（3，4）时，函数f（x）在x=3时，有极小值0，此时函数无极大值．

点评：本题考查导数的几何意义和利用导数求极值．
导数是解决极值的唯一方法，函数中有参数时一般需讨论．