题目内容

（2012•临沂二模）已知
a
=(3
3
cosx，
2
cosx），
b
=(sinx，
2
cosx)，设函数f（x）=
a
•
b
+|
b
|2-
5
2
．
（Ⅰ）当x∈[
π
6
，
π
2
]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若α∈[
π
6
，
π
2
]且f（α）=
3
，求f（α-
π
12
）的值．
分析：由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则及模的计算法则列出f（x）的函数解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）由x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可得出函数f（x）的值域；
（Ⅱ）由f（α）=
3
，将x=α代入函数解析式，得到sin（2α+
π
6
）的值，由α的范围得到2α+
π
6
的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（2α+
π
6
）的值，将x=α-
π
12
代入函数解析式中，整理后将角度变形为（2α+
π
6
）-
π
6
，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将求出的sin（2α+
π
6
）和cos（2α+
π
6
）的值代入，即可求出值．
解答：解：∵
a
=（3
3
cosx，
2
cosx），
b
=（sinx，
2
cosx），
∴f（x）=
a
•
b
+|
b
|2-
5
2
=3
3
cosxsinx+2cos2x+sin2x+2cos2x-
5
2

=
3
3
2
sin2x+3cos2x-
3
2
=
3
3
2
sin2x+
3
2
（1+cos2x）-
3
2

=3（
3
2
sin2x+
1
2
cos2x）
=3sin（2x+
π
6
），
（Ⅰ）当x∈[
π
6
，
π
2
]时，2x+
π
6
∈[
π
2
，
7π
6
]，
∴-
1
2
≤sin（2x+
π
6
）≤1，
∴-
3
2
≤3sin（2x+
π
6
）≤3，即函数f（x）的值域为[-
3
2
，3]；
（Ⅱ）∵f（α）=
3
，∴3sin（2α+
π
6
）=
3
，
∴sin（2α+
π
6
）=
3
3
，又α∈[
π
6
，
π
2
]，
∴2α+
π
6
∈[
π
2
，
7π
6
]，
∴cos（2α+
π
6
）=-
1-sin2(2α+
π
6
)
=-
6
3
，
∴f（α-
π
12
）=3sin[2（α-
π
12
）+
π
6
]=3sin2α
=3sin[（2α+
π
6
）-
π
6
]=3sin（2α+
π
6
）cos
π
6
-3cos（2α+
π
6
）sin
π
6

=3×
3
3
×
3
2
-3×（-
6
3
）×
1
2
=
3+
6
2
．
点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
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