题目内容

已知命题p: 和是方程的两个实根，不等式 对任意实数恒成立;命题q:不等式有解，若命题p是真命题,命题q是假命题，求a的取值范围.


解析:

解：∵，是方程的两个实根        

∴

      ∴

     ∴当时， 

       由不等式对任意实数恒成立

       可得：     ∴或

     ∴命题为真命题时或

       命题：不等式有解

       ①当时，显然有解

②当时，有解

③当时，∵ 有解     

∴  ∴

从而命题q：不等式有解时

又命题q是假命题   ∴

故命题p是真命题且命题q是假命题时,的取值范围为.

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已知命题p: 和是方程的两个实根，不等式 对任意实数恒成立;命题q:不等式有解，若命题p是真命题,命题q是假命题，求a的取值范围.
已知命题p:“a是b的倍数”,命题q:“b是c的倍数”,则写成“p或q”形式的复合命题为________;写成“p且q”形式的复合命题为________.

已知命题：和是方程的两个实数根，不等式对任意实数，恒成立，命题：只有一个实数满足不等式，若或为真，且为假，则实数的取值范围是              ．

 

已知，设和是方程的两个根，不等式对任意实数恒成立；函数有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数的取值范围.

【解析】本试题主要考查了命题和函数零点的运用。由题设x1＋x2＝a，x1x2＝－2，

∴|x1－x2|＝＝.

当a∈[1,2]时，的最小值为3. 当a∈[1,2]时，的最小值为3.

要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x2＋2mx＋m＋＝0的判别式

Δ＝4m2－12(m＋)＝4m2－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真即可。

解：由题设x1＋x2＝a，x1x2＝－2，

∴|x1－x2|＝＝.

当a∈[1,2]时，的最小值为3.

要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x2＋2mx＋m＋＝0的判别式

Δ＝4m2－12(m＋)＝4m2－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即

解得实数m的取值范围是(4,8]

 

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