Question

已知双曲线设过点的直线的方向向量．

   （1）当直线与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线的方程及与m 距离；

   （2）证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为

Answer 1

（1），

（2）证明见解析。

解析:

（1）双曲线C的渐近线 

的方程 

与m的距离    …………5分

   （2）证法一：设过原点且平行于的直线

则直线与b的距离，

当 

又双曲线C的渐近为 

          双曲线C右支在直线D的右下方

       ∴双曲线右支上的任意点到的距离大于

       故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为  …………14分

       证法二：假设双曲线C右支上存在点到直线的距离为

       则

       由（1）得    11分

       设

       当时，   

        

       将代入（2）得           （*）

       ，     

       方程（*）不存在正根，即假设不成立，

       故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为  …………14分