Question

己知二次函数y=f（x） 的图象过点（1，-4），且不等式f（x）＜0的解集是（O，5）．
（I ）求函数f（x）的解析式；
（II）设g（x）=x³-（4k-10）x+5，若函数h（x）=2f（x）+g（x）在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，求y=h（x）在[-3，1]上的最大值和最小值..

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数零点，方程根与不等式解集端点之间的关系，结合二次函数y=f（x） 的图象过点（1，-4），可求出函数f（x）的解析式；
（II）由（I）可求出函数h（x）的解析式（含参数k），进而由函数极大值点为-2，求出k值，结合导数法求最值的步骤，可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由已知y=f （x）是二次函数，且f （x）＜0的解集是（0，5），
可得f （x）=0的两根为0，5，
于是设二次函数f （x）=ax（x-5），
代入点（1，-4），得-4=a×1×（1-5），解得a=1，
∴f （x）=x（x-5）． …（4分）
（Ⅱ）h（x）=2f （x）+g（x）=2x（x-5）+x³-（4k-10）x+5=x³+2x²-4kx+5，
于是h′（x）=3x²+4x-4k，
∵h（x）在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，
∴x=-2是h（x）的极大值点，
∴h′（2）=3×（-2）²+4×（-2）-4k=0，解得k=1．  …（6分）
∴h（x）=x³+2x²-4x+5，进而得h′（x）=3x²+4x-4．
令h′（x）=3x²+4x-4=0，得x=-2，或x=．
由下表：

x	（-3，-2）	-2	（-2，）		（，1）
h′（x）	+		-		+
h（x）	↗	极大	↘	极小	↗

可知：h（-2）=（-2）³+2×（-2）²-4×（-2）+5=13，h（1）=1³+2×1²-4×1+5=4，
h（-3）=（-3）³+2×（-3）²-4×（-3）+5=8，h（）=（）³+2×（）²-4×+5=，
∴h（x）的最大值为13，最小值为．…（12分）
点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数零点，方程根与不等式解集端点的关系，导数法求函数的极值与最值，其中求出函数h（x）的解析式是解答的关键．