Question

在R上可导的函数f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值．当x∈（1，2）时取得极小值，则

b-2

a-1

的取值范围是（　　）

A．( 1 4 ，1)

B．( 1 2 ，1)

C．(- 1 2 ， 1 4 )

D．( 1 4 ， 1 2 )

Answer 1

∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c，∴f′（x）=x²+ax+2b，
设x²+ax+2b=（x-x₁）（x-x₂），（x₁＜x₂）
则x₁+x₂=-a，x₁x₂=2b，
因为函数f（x）当x∈（0，1）时取得极大值，x∈（1，2）时取得极小值
∴0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴1＜-a＜3，0＜2b＜2，-3＜a＜-1，0＜b＜1．∴-2＜b-2＜-1，-4＜a-1＜-2，
∴

1

4

＜

b-2

a-1

＜1，
故选A．